已知函数f(x)=(x 2 +ax-2a 2 +3a)e x (x∈R),其中a∈R.

已知函数f(x)=(x 2 +ax-2a 2 +3a)e x (x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠ 时,求函数y=f(x)的单调区间与极值.
吉祥如意angela 1年前 已收到1个回答 举报

什么名字没重复 幼苗

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(1)3e.(2)见解析

(1)当a=0时,f(x)=x 2 e x ,f′(x)=(x 2 +2x)e x
故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x 2 +(a+2)x-2a 2 +4a]e x .
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠ 知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a> ,则-2a x
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
f′(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值


所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae -2a .
函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)e a -2 .
②若a< ,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)

f′(x)

0

0


f(x)

1年前

2
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