已知函数f(x)＝a−2x．（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．

解题思路：（Ⅰ）先求出函数的定义域关于原点对称，若f（x）=f（-x），则

4

x

＝0，无解，故f（x）不是偶函数；若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数，由此得出结论．
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，设 x₁＜x₂＜0，证明f（x₂）-f（x₁）＞0，从而得出结论．

（Ⅰ）由题意可得 [2/x]≠0，解得 x≠0，故函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称．
由f(x)＝a−
2
x，可得f(−x)＝a+
2
x，
若f（x）=f（-x），则[4/x＝0，无解，故f（x）不是偶函数．
若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数．
综上，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）不具备奇偶性
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
证明：设 x₁＜x₂＜0，则f(x2)−f(x1)＝(a−
2
x2)−(a−
2
x1)＝
2
x1−
2
x2＝
2(x2−x1)
x1x2]，
由x₁＜x₂＜0，可得 x₁x₂＞0，x₂ -x₁＞0，
从而
2(x2−x1)
x1x2＞0，故f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断、证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

（1）a=0，奇函数，否则，非奇非偶。
（2）单调递增。