（2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=12x(

（2012•闸北区二模）如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线C：y2=

x(y≥0)上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an+1

an+2

an+3

+…+

a2n

，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

带刺的蓝 1年前已收到1个回答举报

australia_1214 幼苗

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解题思路：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，xn=

an-1+an

，yn=

an-an-1

．
（2）由

xn得 (

an-an-1

)2=[1/2×

an-1+an

2]，即(an-an-1)2=an-1+an，猜测an=

n(n+1)

，
再用数学归纳法进行证明．
（3）用裂项法求得bn=

an+1

an+2

an+3

+…+

a2n

的值为[2

(2n+

1/n

)+3]，由函数f(x)=2x+

在区间
[1，+∞）上单调递增，且

lim

n→∞

bn=0，求得bn∈(0，

]，再由 A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或a-1＞

，由此求得实常数a的取值范围．

（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，xn=
an-1+an
2，yn=
an-an-1
2．…（4分）
（2）由
y2n=
1
2xn得 (
an-an-1
2)2=[1/2×
an-1+an
2]，
即(an-an-1)2=an-1+an，猜测an=
n(n+1)
2．…（2分）
证明：①当n=1时，可求得 a1=1=
1×2
2，命题成立． …（1分）
②假设当n=k时，命题成立，即有ak=
k(k+1)
2，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，
得[ak+1-
k(k+1)
2]2=
k(k+1)
2+an+1，
即(ak+1)2-(k2+k+1)ak+1+[
k(k-1)
2]•[
(k+1)(k+2)
2]=0
解得ak+1=
(k+1)(k+2)
2，（ak+1=
k(k-1)
2＜ak不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．…（3分）
综上所述，对所有n∈N^*，a

点评：
本题考点：数学归纳法；数列的求和．

考点点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．

1年前

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