已知f（x）=（1+x）α（1+[1/x]）β（α，β，x∈R+），

解题思路：（1）先求导函数得f′（x）=

α(1+x)α+β−1

xβ−1

•(x−

β

α

)，从而可知x∈（[β/α]，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，[β/α]）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根据f（[β/α]）≤f（[y/x]），可得（[α+β/α]）^α•（[α+β/β]）^β≤（[x+y/x]）^α•（[x+y/y]）^β，从而得证；
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（

α1+α2

β1+β2

）^α1+α2≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2，假设n=k时，成立，即（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn，再证明当n=k+1时也，成立．

（1）f′（x）=α（1+x）^α-1（1+[1/x]）^β+（1+x）^α•β（1+[1/x]）^β-1•（-1）•[1
x2=
α(1+x)α+β−1
xβ−1•(x−
β/α)，
∵x∈（
β
α]，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，[β/α]）时，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（[β/α]）=（[α+β/α]）^α（[α+β/β]）^β．
（2）证：∵f（[β/α]）≤f（[y/x]），∴（[α+β/α]）^α•（[α+β/β]）^β≤（[x+y/x]）^α•（[x+y/y]）^β，
即（[α+β/x+y]）^α+β≤（[α/x]）^α•（[β/y]）^β．
（3）当n=2时，由（2）可知（
α1+α2
β1+β2）^α1+α2≤（
α1
β1）^α1•（
α2
β2）^α2，
设n=k时，（
α1+α2+…+αn

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；数学归纳法．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数与不等式的综合，考查数学归纳法，有一定的综合性．