斯托克斯公式的理解问题如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的

我不知道你想问什么,因为所有积分的值都与坐标系无关,那是因为有所谓的“微分的形式不变性”,或者讲“换元法”.换元法说的就是一个坐标内的积分,可以在另一个（微分等价的）坐标内来做.
而旋度也是与坐标无关的定义,虽然在有坐标的时候,它按照坐标来定义,但是不管你怎么定义,对E^3的向量场X,设和它对偶的一次形式场为w,也就是w(Y) = ,dw是二次形式场,设Z是和*dw(*是Hodge star operator)对偶的那个向量场,那么Z就是X的旋度.你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致,并且满足上面给的方程（实际上上面给的方程也用来定义旋度）.这些定义都是不依赖于坐标的,也就是说,旋度是几何量.
不知道这是不是你要问的.
更具体一点：
设 w 是 与 F 对偶的一次形式场,用 int_C 记在封闭路径 C 上的线积分,int_S 是在曲面 S 上的面积分.ds 是 C 上的线元,dS 是 S 上的面元.i : C -> E^3 是包含映射, i^*是回拉.T 是 C 上的单位切向量,n 是 S 上的单位外法向量.
那么左边 int_C
= int_C < F, T*ds>
= int_C ds
= int_C w(T) ds
注意到 (i^*)(w)(T) = w(T) = w(T)*ds(T)
所以 (i^*)(w) = w(T)ds
这个式子说,w 在 C 上的限制,等于w(T)ds
所以上面的积分 int_C w(T) ds
= int_C (i^*)(w) （由 Stokes 公式）
= int_S dw
记 curlF 是 F 的旋度,则

= (*dw)(n)
对任意S上一点的单位正交切向量X, Y, dS(X,Y)=1
所以 dS ( X,Y)
=
= (*dw)(n)
= dw(X, Y)
所以 dS = dw
所以上面的积分等于右边.