(2010•永州)已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A(-2,0),与y轴的交点为B(0,4),且其对称轴与y轴平

(2010•永州)已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A(-2,0),与y轴的交点为B(0,4),且其对称轴与y轴平行.
(1)求该二次函数的解析式,并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象;
(2)在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取上点M,过点M分别作x轴、y轴的垂线段,垂足分别为点C、D.求矩形MCOD的周长的最小值和此时点M的坐标.
dfefw09 1年前 已收到1个回答 举报

DgOk 幼苗

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解题思路:(1)利用待定系数法求解,由题意可设抛物线的解析式y=a(x+2)2,再将已知的B点坐标代入可求出a,进而得出抛物线的解析式.
(2)设点M的坐标为(m,n),将其代入抛物线的解析式可得出m,n之间的关系式n=m2+4m+4;再由矩形周长公式可得出周长L与m,n之间的二次函数关系式L=2(n-m);消去n可得出L与m二次函数关系式,利用顶点坐标式可求出结果.

(1)由题意可知点A(-2,0)是抛物线的顶点,
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2
∵其图象与y轴交于点B(0,4),
∴4=4a,
∴a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+2)2

(2)设点M的坐标为(m,n),
则m<0,n>0,n=(m+2)2=m2+4m+4,
设矩形MCOD的周长为L;
则L=2(MC+MD)=2(|n|+|m|)
=2(n-m)
=2(m2+4m+4-m)
=2(m2+3m+4)
=2(m+[3/2])2+[7/2];
当m=−
3
2时,L有最小值[7/2],此时n=[1/4];
∴点M的坐标为(−
3
2,[1/4]).

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、矩形周长的计算方法、二次函数最值的应用等知识,难度适中.

1年前

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