设∑是球面x^2+y^2+z^2=4,则曲面积分∮∫（x^2+y^2+z^2)dS=

caiyantao 1年前已收到2个回答举报

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面积元素ds=2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy
∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy
极坐标换元：∫∫（x^2+y^2+z^2)dS= 4πr^4=64π
细节问题自己处理.

1年前追问

caiyantao 举报

我就是极坐标换元那里有些不懂，之前算的和你一样，这步=∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy 之后我用的参数方程，麻烦你把这之后的步骤讲一下

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∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy=8∫∫1/（4-r^2)^1/2 rdrdθ （积分范围：r（0.2）θ（0.2π）） =8∫∫-（4-r^2）^1/2drdθ （积分范围：r（0.2）θ（0.2π）） =16π.2=32π 以上求得的是上半球面的曲面积分，根据对称性：∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=64π 关于换元有：dxdy=|a（x.y）/a（v.u）|dudv 这里令x=rsinθ y=rcosθ 那么：dxdy=rdrdθ

红叶momiji 幼苗

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代入球面方程∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4dS=4*4πR^2=16πR^2=64π

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