如图，四棱柱ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1 O⊥平面ABCD，A

（1）见解析（2）

(1)证明　法一：由题设易知OA，OB，OA ₁ 两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB＝AA ₁ ＝ ，
∴OA＝OB＝OA ₁ ＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A ₁ (0,0,1)．
由 ＝ ，易得B ₁ (－1,1,1)．
∵ ＝(－1,0，－1)， ＝(0，－2,0)， ＝(－1,0,1)，
∴ · ＝0， · ＝0，
∴A ₁ C⊥BD，A ₁ C⊥BB ₁ ，
又BD∩BB ₁ ＝B，A ₁ C⊄平面BB ₁ D ₁ D，
∴A ₁ C⊥平面BB ₁ D ₁ D.
法二：∵A ₁ O⊥平面ABCD，∴A ₁ O⊥BD.
又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A ₁ OC，∴BD⊥A ₁ C.
又OA ₁ 是AC的中垂线，∴A ₁ A＝A ₁ C＝ ，且AC＝2，
∴AC ² ＝ ＋A ₁ C ² ，
∴△AA ₁ C是直角三角形，∴AA ₁ ⊥A ₁ C.
又BB ₁ ∥AA ₁ ，∴A ₁ C⊥BB ₁ ，
∴A ₁ C⊥平面BB ₁ D ₁ D.
(2)设平面OCB ₁ 的法向量n＝(x，y，z)．
∵ ＝(－1,0,0)， ＝(－1,1,1)，
∴
∴
取n＝(0,1，－1)，由(1)知， ＝(－1,0，－1)是平面BB ₁ D ₁ D的法向量，
∴cos θ＝|cos〈n， 〉|＝ ＝ .
又∵0≤θ≤ ，∴θ＝ .