已知函数f（x）连续，且limx→0f(x)x=2，设φ（x）=∫10f(xt)dt，求φ′（x），并讨论φ′（x）的连
已知函数f（x）连续，且
=2，设φ（x）=
f(xt)dt，求φ′（x），并讨论φ′（x）的连续性．
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
| ∫ | 1 0 |
赞 小图ww 春芽
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解题思路：题目中φ(x)＝
f(xt)dt被积函数含有xt，而积分变量是t，因此为了求φ（x）的导数，先做变换u=xt．
| ∫ | 1 0 |
由
lim
x→0
f(x)
x=2可知，f（0）=0，f'（0）=2
又令u=xt，则
φ(x)＝
∫10f(xt)dt=
∫x0f(u)
1
xdu=
∫x0f(u)du
x（x≠0）
而φ（0）=0
φ(x)＝
∫x0f(u)du
x，x≠0
0，x＝0
∴φ'（x）=
xf(x)−
∫x0f(u)du
x2，(x≠0)
又φ'（0）=
lim
x→0
φ(x)−φ(0)
x=
lim
x→0
∫x0f(u)du
x2=
lim
x→0
f(x)
2x＝1
∴φ′(x)＝
点评：
本题考点： 积分上限函数及其求导．
考点点评： 要充分挖掘题目的隐含条件，并在求φ（x）导数时，要先对其进行换元．
1年前
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