f(x)在[a,b]可积,积分上限函数Φ(x)连续,为什么,怎么证明?

wangliang311 1年前 已收到3个回答 举报
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acb123 幼苗

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f(x) 连续?

1年前 追问

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wangliang311 举报

f(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上肯定连续的.....

举报 acb123

f(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上不一定连续

wangliang311 举报

为什么呢？不连续怎么可积呢？

举报 acb123

分段函数 f(x) = x^2+1, x>0 ; f(0)=0; f(x) = -x-1, x<0

wangliang311 举报

随便列一段区间[-1，1]f(x)就不可积呀，像类似[1,2]，[-2,-1]这样的区间还是可积的...

举报 acb123

如果 f(x) 连续，f(x) 有界。 利用积分中值定理： 当 Δx ->0 时， Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫ [a,x+Δx] f(t) dt - ∫ [a,x] f(t) dt = ∫ [x,x+Δx] f(t) dt = f(ξ) * Δx ->0 即证。 另外，分段函数 f(x) = x^2+1, x>0 ; f(0)=0; f(x) = -x-1, x<0 在区间[-1，1]f可积。

qinbilin 花朵

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f(x)在[a,b]可积，则f(x)在[a,b]有界。即存在正数M, |f(x)|<=M
0 <= |Φ(x+Δx) - Φ(x)|
= |∫ [a,x+Δx] f(t) dt - ∫ [a,x] f(t) dt|
=|∫ [x,x+Δx] f(t) dt|
<=∫ [x,x+Δx] |f(t)| dt
<=∫ [x,x+Δx] M dt = MΔx
这就能说明 Φ(x) 连续

1年前

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jim_chang 幼苗

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假设Φ(x)不连续，那么存在一个间断点m
分别讨论m为第一二类间断点的情况
根据定积分的定义式
都可以推出
f(x)在一个测度为0的区间上的定积分不为0
由此得证

1年前

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