不等式的证明 是否存在c使x/（2x+y）+y/（x+2y）

楼上证明的没有问题,可是一般的学生看见这道题怎么会想到把这两个式子和2/3做差呢?这个题的关键是要先找到这个c,不然一般的中学生是不知道如何下手的.下面姐姐给你一个解决问题的思路和更自然的处理方法：观察左右两个式子,因为分子分母都不含二次项,那么我们令正数x＝y时,分子分母就可以约掉.此时左右两个式子的值均为2/3.所以呢,要想对任意的x、y＞0成立,c必须为2/3,否则上面的特殊情况就无法满足.下面我给出左半边的讨论,实际上这个讨论更具有一般性,即使不知道c,也可以直接通过这个手续找出一个c来：不妨设x＝y＋a（a是一个待定的非负实数）,将原式左边的x都换成y＋a（消元法）,得到：左边＝(6y^+6ay+a^)/(9y^+9ay+2a^)＝2/3-(a^/3t)＜＝2/3（其中t＝9y^+9ay+2a^＞0）,当且仅当a＝0,即x＝y时取等号,右边可以类似处理.

x/（2x+y）+y/（x+2y）-2/3
= -(x-y)^2/3(2x+y)(x+2y)
≤ 0
x/（2x+y）+y/（x+2y）≤2/3
x/（x+2y）+y/（2x+y）-2/3
= (x-y)^2/3(2x+y)(x+2y)
≥ 0
x/（x+2y）+y/（2x+y）≥ 2/3
C=2/3