石兰花
幼苗
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证明略
方法一 (1) 由题设知,FG=GA,
FH=HD,所以GH
AD.
又BC
AD,故GH
BC.
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2) C、D、F、E四点共面.
理由如下:
由BE
AF,G是FA的中点知,
BE
GF,所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.
又点D在直线FH上,所以C、D、F、E四点共面.
(3)如图,连接EG,由AB=BE,BE
AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA.
由题设知,FA、AD、AB两两垂直,故AD⊥平面FABE,
因此EA是ED在平面FABE内的射影,根据三垂线定理,BG⊥ED.
又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.
由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.
由(2)知CH
平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.
方法二 由题设知,FA、AB、AD两两互相垂直.
如图,以A为坐标原点,射线AB为x轴正方向,以射线AD为y轴正方向,
以射线AF为z轴正方向,建立直角坐标系A—xyz.
(1) 设AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得
A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),
G(0,0,c),H(0,b,c).
所以,
=(0,b,0),
=(0,b,0),于是
=
.
又点G不在直线BC上,
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2) C、D、F、E四点共面.
理由如下:由题设知F(0,0,2c),
所以
=(-a,0,c),
=(-a,0,c),
=
.
又C
EF,H∈FD,故C、D、F、E四点共面.
(3) 由AB=BE,得c=a,
所以
=(-a,0,a),
=(a,0,a).
又
=(0,2b,0),因此
·
=0,
·
=0.
即CH⊥AE,CH⊥AD.
又AD∩AE=A,所以CH⊥平面ADE.
故由CH
平面CDFE,得平面ADE⊥平面CDE.
1年前
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