过x轴上动点A（a，0），引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ．切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P、Q．

解题思路：（1）设出直线方程，与抛物线联立，由韦达定理得出：k₁•k₂的值；设出P、Q两点坐标，写出PQ方程，由根与系数关系代入并化简求出定点坐标；
（2）当

S△APQ

| PQ |

最小时，即A点到直线PQ的距离的最小值，利用基本不等式，求出a的值，代入

AP

•

AQ

式子中即可．

（1）证明：易知切线的斜率存在，设过A点的直线为：y=k（x-a），
由

y＝k(x−a)
y ＝x 2+1得：x²-kx+ka+1=0，△=k²-4ak-4=0，
∴k₁+k₂=4a，k₁•k₂=-4为定值．
由y=x²+1，得y'=2x，设切点P、Q坐标分别为P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q），k₁=2x_p，k₂=2x_q
∴x_p+x_q=2a，x_p•x_q=-1，
PQ的直线方程：y−yp＝
yp−yq
xp−xq(x−xp)，由yp＝xp2+1，yq＝xq2+1
得到y＝(xp+xq)x−xp
x q+1
整理可得y=2xa+2，∴直线PQ过定点（0，2）．
（2）设A到PQ的距离为d．则S△APQ＝|PQ|×
d
2，
∴
S△APQ
|PQ|=
d
2＝
2a2+2
2
4a2+1＝
a2+1

4a2+1，
设t＝
4a2+1≥1，∴
S△APQ
|PQ|=
t2+3
4t≥

3
2，
当且仅当t＝
3时取等号，即a＝±

2
2．
∵

AQ•

AP=(xp−a，yp)•(xQ−a，yQ)＝xpxQ−a(xp+xQ)+a2+ypyQ
又∵ypyQ＝(2xpa+2)(2xQa+2)＝4a2xpxQ+4+4a(xp+xQ)＝4a2+4
所以

AQ•

AP=3a2+3＝
9
2．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；平面向量数量积的运算．

考点点评： 本题是考查直线与圆锥曲线相交、定点、定值、最值的问题，用到设而不求，韦达定理，基本不等式，等价转换等思想．是一道综合性非常强的圆锥曲线问题．