A，n都是自然数，且A=n2+15n+26是一个完全平方数，则n等于 ______．

解题思路：首先设A=（n+a）²，根据题意可知A=n²+15n+26=（n+a）²，并可用a表示n的形式．根据n为自然数故讨论a符号题意的a取值，进而代入求得n的值．

设A=（n+a）²，则A=n²+15n+26=（n+a）²=n²+2an+a²⇒15n+26=2an+a²⇒n=
26−a2
2a−15，
∵n为自然数则26-a²＞0且2a-15＞0或26-a²＜0且2a-15＜0，
当26-a²＞0且2a-15＞0时，此时a无解；
当26-a²＜0且2a-15＜0时，此时6≤a≤7，
解得a=6，7，
代入n=
26−a2
2a−15验证，
只有a=7时，n=23．
故答案为：23．

点评：
本题考点： 完全平方数．

考点点评： 本题考查完全平方式．本题属于不定方程求解，解决本题的关键是列出式子n=26−a22a−15，讨论a的取值．

23

设A=(n+x)^2=n^2+2nx+x^2(x为自然数)
则n^2+2nx+x^2=n^2+15n+26
2nx+x^2=15n+26
n=(26-x^2)/(2x-15)
因n为自然数则26-x^2>0且2x-15>0或26-x^2<0且2x-15<0
x=5,6,7,8
带入n=(26-x^2)/(2x-15)
要n为自然数须x=7，n=23

不妨令A=（n+a)²
then、 n²+15n+26=n²+2an+a²
that is：n=(a²-26）/(15-2a) n∈N
so, n=23 for a=7