设圆满足 1.截Y轴所得弦长是2 2.被X轴分成两段弧,其弧长比为3:1 在满足上述条件的所有圆中、求圆心到直线 X-2

设圆满足 1.截Y轴所得弦长是2 2.被X轴分成两段弧,其弧长比为3:1 在满足上述条件的所有圆中、求圆心到直线 X-2Y=0的距离最小的圆的方程
苏慕真 1年前 已收到1个回答 举报

fang101155 幼苗

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设圆心为P(a,b),半径为r, 则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|. 由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根号2)*r,故 r^2=2b 又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有 r^2=a^2+1 从而得 2b^2-a^2=1 又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=|a-2b|/根号5 ---5d^2=a^2+4b^2-4ab=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1 当a=b时上式等号成立, 此时,5d^2=1,从而d取得最小值. 由此有{a=b,2b^2-a^2=1} ---a=b=1,或a=b=-1 由于r^2=2b^2,则r=根号2 于是,所求圆的方程是: (x-1)^2+(y-1)^2=2, 或(x+1)^2+(y+1)^2=2.

1年前 追问

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苏慕真 举报

你的回答完美的解决了我的问题,谢谢!
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