如图,已知抛物线y=-1/2x平方+x+4交x轴的正半轴与点A,交y轴于点B

已知抛物线y=-1/2x²+x+4 交x轴的正半轴与点A,交y轴于点B
a=-1/2＜0,则抛物线开口朝下
Δ=b²-4ac=1+4×4/2=9＞0 抛物线图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；
即A点（2,0）和C点（-4,0）
因交y轴于点B
所以y=-1/2x²+x+4=4,即B点（0,4）
设直线为y=kx+b,将A(2,0),B(0,4)代入直线方程得
则有0=2k+b和b=4解得k=-2
直线AB的解析式y=-2x+4
（2）
因正方形PEQF于直线AB有公共点,Q点的坐标为（x/2,y/2)
必然Q点的最大坐标在y=-2x+4和直线y=x的交点上
则有y=-2x+4=x,y=x=4/3
Q点的最大坐标为（4/3,4/3）
P点的最大坐标（8/3,8/3）
P点的最小坐标（4/3,4/3）
Q点的最小坐标为（2/3,2/3）
所以x的取值范围为2/3＜x＜8/3
3、
过Q点作相交于直线y=-2x+4的直角△交直线y=-2x+4于D点和C点
Q点坐标（x/2,y/2）,即（x/2,x/2）
则D点(x/2,-x+4)和C点(-x+4,x/2)
面积S=QD×CG/2
= |(-x+4-x/2)||(-x+4-x/2)|/2
=(-3x/2+4)²/2
令x=2/3,则正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S达到最大
S=(-3x/2+4)²/2=9/2=4.5

y=-x+4,23时Q(x/2,x/2)直角边=4-x/2-x/2,S=(4-x)平方/2，x<3时，直角边2x-4，最后x=3时最大值S=1/2

（3）当PQ中点横坐标3x/4>=2,即4>=x>=8/3时，
S=2（2-x/2)^2;
当2<=x<=8/3时S=(x/2)^2-2(x-2)^2=(-7/4)x^2+8x-8
=(-7/4)(x-16/7)^2+8/7.
当x=16/7时S取最大值8/7.

1.A(4,0),B(0,4)
2.
抛物线交y=x于M(2√2，2√2)
P(x,y),Q(x/2,y/2)则E(x,y/2),F(x/2,y)
Q在抛物线内且P在抛物线外，0＜x/2≤2√2 且x≥2√2
2√2≤x≤4√2。
3.
只有当Q在△OAB内才有公共部分，
y=x与AB直线y=-x+4交点为N(2,2)
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