（本小题满分13分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，

(Ⅰ)证明见解析。 (Ⅱ) arctan2（Ⅲ）


法一：（1）证明：连结OC，∵ ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO= 。……（2分）在 AOC中，AC= ，∴AO ² +CO ² =AC ² ，
∴∠AOC=90 ⁰ ，即AO⊥OC。∴BD OC=O，∴AO⊥平面BCD。……（3分）
（2）过O作OE垂直BC于E，连结AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE。
∴AE⊥BC。∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……（7分）
在Rt AEO中，AO= ，OE= ， ∠ ，∴∠AEO=arctan2。
二面角A—BC—D的大小为arctan2。
（3）设点O到面ACD的距离为 ∵V _O-ACD =V _A-OCD ，∴ 。
在 ACD中，AD=CD=2，AC= ， 。



而AO= ， ，∴ 。 ∴点O到平面ACD的距离为 。…（13分）
解法二：（1）同解法一。
（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0， ），B（1，0，0），C（0， ，0），D（-1，0，0）
∵AO⊥平面DCD，∴平面BCD的法向量 =(0,0, )。…（5分）



设平面ABC的法向量 ， ，
由 。设 与 夹角为 ，
则 。∴二面角A—BC—D的大小为arccos 。………（8分）
（3）设平面ACD的法向量为 又