（2013•青岛）已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动

（1）连结AQ，MD．
∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
即3t=3-3t，
t=
1
2，
∴当t=
1
2s时，四边形AQDM是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴
AM
DQ=
AP
PD，
∴
AM
1−t=
3t
3−3t，
∴AM=t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=

2
2（1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y=
1
2×AP×MN
=
1
2•3t•

2
2（1+t）
即y与t之间的函数关系式为y=
3
2
4t²+
3
2
4t（0＜t＜1）．

（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
此时
3
2
4t²+
3
2
4t=
1
2×3×

2
2，
整理得：t²+t-1=0，
解得t₁=

5−1
2，t₂=
−
5−1
2（舍去）
∴当t=

5−1
2s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．

（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成
2：1的两部分，
理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成
2：1的两部分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴
AP
CN=
AW
CW，
即
3t
3−

2
2(t+1)=