（2011•番禺区一模）如图，点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连

解题思路：（1）此题有两种证法：〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，根据AE∥DC．求证△AKE∽△CKD，再利用AQ∥PC，求证△AKQ∽△CKP．再利用其对应边成比例即可证明结论．
（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC，根据AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中点，D、E、R三点共线，求证△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求证△RBM∽△RCP，利用其对应边成比例即可证明结论．
（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于点N．根据△RBN∽RFP．利用F是BC的中点，RB=BC，可得[BN/PF]=[RB/RF]=[2/3]，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求证△BNE≌△APE即可．

（1）〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，
∵AE∥DC，∴∠AEP=∠CDP，
又∠AKE=∠CKD，
∴△AKE∽△CKD，
∴[AE/DC＝
AK
KC＝
1
2]．
∵AQ∥PC，
∴∠KAQ=∠PCK，
又∠AKQ=∠CKP，
∴△AKQ∽△CKP．
∴[AQ/PC＝
AK
CK]，
∵[AK/KC＝
1
2]，
∴[AQ/PC＝
1
2]，
即PC=2AQ．

（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是[1/2]．
PC=2MB=2AQ．

（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．
作BN∥AF，交RD于点N．
则△RBN∽RFP．
∵F是BC的中点，
由（1）[法二]知：RB=BC，
∴RB=[2/3]RF．
∴[BN/PF]=[RB/RF]=[2/3]
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=[2/3]PF．
即[AP/PF]=[2/3]．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

考点点评： 此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，是一道中考压轴题．