已知二次函数f（x）=ax2+bx-1，且不等式|f（x）|≤2|2x2-1|的实数x恒成立，数列{an}满足a1=1，

解题思路：（1）由不等式|f（x）|≤2|2x2-1|的实数x恒成立，由x=±22时，2|2x2-1|=0，结合绝对值的非负性，可得f（22）=f（-22）=0，由此构造方程可求出a，b的值；（2）由f（x）=2x2+1，可得an+1=2an+1，进而可得数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列{an+1}的通项公式后，可得数列{an}的通项公式；（3）由akak+1=2k−12k+1−1≥12-115•12k−2（k≥3），利用放缩法，可证得a1a2+a2a3+…+anan+1＞n2−1135(n∈N*)．

（1）∵不等式|f（x）|≤2|2x²-1|对任意的实数x恒成立．且当x=±

2
2时，2|2x²-1|=0
∴|f（

2
2）|≤0，且|f（-

2
2）|≤0，
即f（

2
2）=f（-

2
2）=0
即


1
2a+

2
2b−1＝0

1
2a−

2
2b−1＝0，
解得：a=2，b=0；
（2）由 （1）知f（x）=2x²+1，
∴an+1＝f(
an+1)=2a_n+1，
a_n+1+1=2（a_n+1）
又a₁=1，
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，
从而数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（3）由 （2）知a_n=2ⁿ-1，
∴
ak
ak+1=
2k−1
2k+1−1=[1/2]-[1
2(2K+1−1)=
1/2]-[1
15•2k−2+(2k−2−2)≥
1/2]-[1/15]•[1
2k−2（k≥3）
∴
a1
a2+
a2
a3+…+
an
an+1≥
1/3]+[3/7]+[n−2/2]-[1/15]•（[1/2]+[1
22+…+
1
2n−2）=
n/2−
5
21]-[1/15]•（1-[1
2n−2）＞
n/2−
5
21]-[1/15]=[n/2−
32
105]＞[n/2−
11
35]
综上有
a1
a2+
a2
a3+…+
an
an+1＞
n
2−
11
35(n∈N*)．

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查的知识点是数列与函数的综合应用，数列与不等式的综合应用，求数列的通项公式，其中（1）的关键是得到f（22）=f（-22）=0，（2）的关键是得到数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，（3）的关键是利用放缩法对不等式进行变形．