安迪和瑞德 幼苗
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∵已知的整系数二次方程有整数根,
∴△=4p2-4(p2-5p-1)=4(5p+1)为完全平方数,
从而,5p+1为完全平方数
设5p+1=n2,注意到p≥2,故n≥4,且n为整数
∴5p=(n+1)(n-1),
则n+1,n-1中至少有一个是5的倍数,即n=5k±1(k为正整数)
∴5p+1=25k2±10k+1,p=k(5k±2),
由p是质数,5k±2>1,
∴k=1,p=3或7
当p=3时,已知方程变为x2-6x-7=0,解得x1=-1,x2=7;
当p=7时,已知方程变为x2-14x+13=0,解得x1=1,x2=13
所以p=3或p=7.
点评:
本题考点: 根的判别式.
考点点评: 此题主要考查了一元二次方程的判别式及方程的整数根的性质,比较难,对于学生分析问题,解决问题的能力要求比较高,是一个竞赛题,平时注意训练.
1年前