（2012•自贡三模）已知数列{an} 中a1=2，点（an，an+1） 在函数f（x）=x2+2x的图象上，

解题思路：（1）点（a_n，a_n+1） 在函数f（x）=x²+2x的图象上，得到关系式，通过对数运算，推出数列{lg（1+a_n）}是等比数列．
（2）利用数列 {b_n} 的前n项和为S_n，且满足b₁=1，当n≥2时，S_n²=bn（S_n-[1/2]），推出{

1

Sn

}为等差数列，然后求出S_n；
（3）利用（1）求出a_n，T_n，C_n，化简

Tn

32n+1

•

n

k＝1

ck，然后求出表达式的极限．

（1）由已知可得a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，两边取对数得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即
lg(1+an+1)
lg(1+an)＝2
∴数列{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
（2）当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-[1/2]）=（S_n-S_n-1）（S_n-[1/2]）
展开整理得：S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，若S_n=0，则有b_n=0，则S₂=1+b₂≠0，矛盾，所以S_n≠0，
所以在等式两侧同除以S_nS_n-1得[1
Sn−
1
Sn−1＝2，
∴{
1
Sn}为等差数列
∴
1
Sn＝2n−1，
∴Sn＝
1/2n−1]．
（3）由（1）知lg（1+a_n）=2^n-1•lg（1+a₁）=2^n-1•lg3=lg32n−1．
∴1+a_n=32n−1．
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）=320•321•322…32n−1=31+2+22+…+2n−1=32n−1．
c_n=
2Sn
2n+1=[2
(2n−1)(2n+1)=
1/2n−1−
1
2n+1]．
∴
Tn
32n+1•
n

k＝1ck＝

点评：
本题考点： 数列的极限；等比关系的确定；数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查数列的判定，通项公式的求法，前n项和的求法，数列的极限的求法，考查计算能力．