已知函数f(x)=3x+a与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,则a2+2ab+2ac+4bcb2−2b

已知函数f(x)=3x+a与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,则
a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
的最小值为______.
zakra0902 1年前 已收到1个回答 举报

wu7538 春芽

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解题思路:根据函数f(x)=3x+a,与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,可得a+2b<0,a+2c>0恒成立,进而根据
a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
=
(a+2b)(a+2c)
(b−c)2
=
4(a+2b)(a+2c)
[(a+2b)−(a+2c)]2
,结合基本不等式可得
a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
的最小值.

∵函数f(x)=3x+a,与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,且f(x)与g(x)均为增函数
∴f(b)=3b+a<0,即b<-[a/3],
g(b)=3b+2a<0,即b<-[2a/3],
f(c)=3c+a>0,即c>-[a/3],
g(c)=3c+2a>0,即c>-[2a/3],
∵当a>0时,a+2b<0,a+2c>0,
当a<0时,a+2b<0,a+2c>0,
当a=0时,a+2b<0,a+2c>0,
即a+2b<0,a+2c>0恒成立,即-a-2b>0,a+2c>0恒成立,

a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2
=
(a+2b)(a+2c)
(b−c)2
=
(a+2b)(a+2c)

1
4[(a+2b)−(a+2c)]2
=
4(a+2b)(a+2c)
[(a+2b)−(a+2c)]2
=
4(a+2b)(a+2c)
(a+2b)2+(a+2c)2−2(a+2b)(a+2c)
=
4(a+2b)(a+2c)
(a+2b)2+(a+2c)2+2(−a−2b)(a+2c)

4(a+2b)(a+2c)
4(−a−2b)(a+2c)=-1,

a2+2ab+2ac+4bc
b2−2bc+c2的最小值为-1,
故答案为:-1

点评:
本题考点: 函数零点的判定定理;基本不等式.

考点点评: 本题考查的知识点是函数零点的判定定理,基本不等式,其中对式子a2+2ab+2ac+4bcb2−2bc+c2=(a+2b)(a+2c)(b−c)2=4(a+2b)(a+2c)[(a+2b)−(a+2c)]2的分解变形是解答的关键.

1年前

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