线性代数,基础解系设m*n矩阵A的秩r(A)=r,y1,y2.y(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=P的n-r+1个线

(1)若:y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),.,y(n-r)-y(n-r+1)线性相关,即存在不全为0的数h1,h2,h(n-r)
使:h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+.+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]=0
即:,h1y1+h2y2+.h(n-r)y(n-r)+[h1+h2+.+h(n-r)]y(n-r+1)=0.
由此,得出y1,y2.y(n-r+1)线性相关,与假设矛盾,
即知y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),.,y(n-r)-y(n-r+1)线性无关.
(2)由于:r(A)=r.知AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量.
又,由定理知:y1-y(n-r+1),y2-y(n-r+1),.,y(n-r)-y(n-r+1)中的每一个都是齐次方程组AX=0的解.由于它们线性无关,故知它们即为AX=0的基础解系.而AX=P的通解可表为:
X= y1+ h1[y1-y(n-r+1)]+ h2[y2-y(n-r+1)]+.+h(n-r)[y(n-r)-y(n-r+1)]
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