there is a lake down there.我知道 down there是状语.

如果我没记错的话,there is a lake down there里,down there是一个短语,和over there是一样的,表示地点或方向,并不单独拆开考虑词性,所以应该是介词短语作状语.
而第二个句子,我没看懂,如果你想说他带着我穿过很多门和走廊向下走,走到剧院的下方的话,这句话应该写成he took me through many doors and passages down,down under the opera.这里第一个down是prep表示向下,第二个down是动词,表示下到.主语是逗号前面的整个句子.不过我总觉得这句话有点问题,要是我的话,同样的意思我会写成he took me down｜ through many doors and passages｜ to the under of the opera

down 是介词 ，there是副词
不对，修饰under这个介词短语。两个个down连用表示过程的艰辛。