(2013•奉贤区二模)如图,已知二次函数y=-x2+2mx的图象经过点B(1,2),与x轴的另一个交点为A,点B关于抛

(2013•奉贤区二模)如图,已知二次函数y=-x2+2mx的图象经过点B(1,2),与x轴的另一个交点为A,点B关于抛物线对称轴的对称点为C,过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线BM上有点P(1,[3/2]),联结CP和CA,判断直线CP与直线CA的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,在坐标轴上是否存在点E,使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形?若存在,求出所有满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
vava 1年前 已收到1个回答 举报

cyp_325 幼苗

共回答了24个问题采纳率:95.8% 举报

解题思路:(1)将点B(1,2),代入二次函数y=-x2+2mx,得到关于m的方程,求得m的值,从而得到二次函数的解析式;
(2)根据题意可知点A(3,0),C(2,2),P(1,[3/2]),根据两点间的距离公式可得PA,PC,AC的长,再根据勾股定理的逆定理即可判断直线CP与直线CA的位置关系;
(3)分①当点E在x轴上,PE∥CA,②当点E在y轴上,PC∥AE,两种情况讨论即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标.

(1)∵点B(1,2)在二次函数y=-x2+2mx的图象上,
∴-12+2m=2
解得m=[3/2].
故二次函数的解析式为y=-x2+3x;

(2)直线CP与直线CA的位置关系是垂直.
∵二次函数的解析式为y=-x2+3x,
∴点A(3,0),C(2,2),
∵P(1,[3/2]),
∴PA2=[25/4],PC2=[5/4],AC2=5,
∴PA2=PC2+AC2
∴∠PCA=90°,即CP⊥CA;

(3)假设在坐标轴上存在点E,使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形,
∵∠PCA=90°,
则①当点E在x轴上,PE∥CA,
∴△CBP∽△PME,
∴[CB/PM]=[BP/ME],
∴ME=[3/4],
∴E1([7/4],0);
②当点E在y轴上,PC∥AE,
∴△CBP∽△AOE,
∴[CB/AO]=[BP/OE],
∴OE=[3/2],
∴E2(0,-[3/2]).
即点Q的坐标E1([7/4],0)、E2(0,-[3/2])时,以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形.

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 考查了二次函数综合题,涉及到:直角梯形的性质、二次函数解析式的确定、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等重要知识点.(3)题中,注意要分类讨论,以免漏解.

1年前

3
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.013 s. - webmaster@yulucn.com