已知函数f(x)=x−1|x|,若不等式f(t2)+mf(t)≥f(-t2)+mf(-t)-2对一切非零实数t恒成立,则

已知函数f(x)=x−
1
|x|
,若不等式f(t2)+mf(t)≥f(-t2)+mf(-t)-2对一切非零实数t恒成立,则实数m的取值范围为______.
还猪脚脚 1年前 已收到1个回答 举报

心随梦绿 幼苗

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解题思路:根据题意函数f(x)=x−
1
|x|
把不等式f(t2)+mf(t)≥f(-t2)+mf(-t)-2进行变形得到t2+mt≥-1对一切非零实数t恒成立,则t2+mt的最小值要大于等于-1,利用二次函数t=
b
2a
时,函数的最小值为
4ac−b2
4a
,求出t2+mt的最小值列出关于m的不等式求出解集即可.

∵函数f(x)=x−
1
|x|则不等式可化为:t2+mt≥-1
设y=t2+mt则它是开口向上的抛物线.
∴当t=[m/−2]时,ymin=
−m2
4;
∵不等式f(t2)+mf(t)≥f(-t2)+mf(-t)-2对一切非零实数t恒成立.
∴y的最小值≥-1即得到:
−m2
4≥-1
解得:-2≤m≤2
故答案为[-2,2].

点评:
本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 考查函数恒成立的条件,以及二次函数求最值的方法.

1年前

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