选修4-5:不等式选讲已知实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=24

选修4-5:不等式选讲已知实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=24
①求a+2b+3c的最值;
②若满足题设条件的任意实数a,b,c,不等式a+2b+3c>|x+1|-14恒成立,求实数x的取值范围.
cwxu 1年前 已收到1个回答 举报

l01ac1ro 幼苗

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解题思路:①首先分析题目已知a2+2b2+3c2=24,求a+2b+3c的最大值,考虑到柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2的应用,构造出柯西不等式求出(a+2b+3c)2的最大值开方即可得到答案.
②首先分析题目已知不等式a+2b+3c>|x+1|-14恒成立,求x的取值范围,即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可.由①分析得a+2b+3c的最小值,即|x+1|-14<-1可得到答案.

①因为已知a、b、c是实数,且a2+2b2+3c2=24
根据柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2
故有(a2+2b2+3c2)(12+(
2) 2+(
3)2)≥(a+2b+3c)2
故(a+2b+3c)2≤144,即|a+2b+3c|≤12
即a+2b+3c的最大值为12,a+2b+3c的最小值为-12;
②:已知不等式a+2b+3c>|x+1|-14恒成立,即需要|x+1|-14小于a+2b+3c的最小值即可.
即|x+1|-14<-12.解得:-2<x+1<2,-3<x<1
即:实数x的取值范围(-3,1).

点评:
本题考点: 绝对值不等式的解法.

考点点评: 此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用,对于此类题目很多同学一开始就想到应用球的参数方程求解,这个方法可行但是计算量较高,而应用柯西不等式求解较简单,同学们需要很好的理解掌握.此题还考查不等式恒成立的问题.

1年前

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