若a,b,c∈R+,则证明(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)≥a+b+c

37475141 1年前 已收到2个回答 举报

nashxu 种子

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(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)=(b^2*c^2+a^2*b^2+a^2c^2)/abc
下面证明单独证明分子b^2*c^2+a^2*b^2+a^2c^2
b^2*c^2+a^2*b^2+a^2*c^2
=1/2*(b^2*c^2+a^2*b^2+a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2+a^2*c^2)
≥1/2*(2acb^2+2bca^2+2abc^2) (利用均值不等式,a=b=c时取等号)
=acb^2+bca^2+abc^2
=abc*(a+b+c)
所以(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)
=(b^2*c^2+a^2*b^2+a^2c^2)/abc
≥abc*(a+b+c)/abc=a+b+c (a=b=c时取等号)
所以(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)≥a+b+c 得证
不知道你明白了吗?

1年前

9

ddd555kkk 幼苗

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因为(bc/a)+(ca/b)>=2c
(ab/c)+(bc/a)>=2b
(ca/b)+(ab/c)≥2a
所以:(bc/a)+(ca/b)+(ab/c)≥a+b+c

1年前

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