(2014·随州模拟)已知等比数列{a n }满足a n+1 +a n =9·2 n-1 ,n∈N * .
| (2014·随州模拟)已知等比数列{a n }满足a n+1 +a n =9·2 n-1 ,n∈N * . (1)求数列{a n }的通项公式. (2)设数列{a n }的前n项和为S n ,若不等式S n >ka n -2对一切n∈N * 恒成立,求实数k的取值范围. |
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（1）a n =3·2 n-1 ,n∈N * （2）
(1)设等比数列{a n }的公比为q,
因为a n+1 +a n =9·2 n-1 ,n∈N * ,所以a 2 +a 1 =9,a 3 +a 2 =18,
所以q=
=
=2,
又2a 1 +a 1 =9,所以a 1 =3.所以a n =3·2 n-1 ,n∈N * .
(2)S n =
=
=3(2 n -1),
所以3(2 n -1)>k·3·2 n-1 -2,所以k<2-
.
令f(n)=2- ,f(n)随n的增大而增大,
所以f(n) min =f(1)=2-
=
,
所以k< ,所以实数k的取值范围为 .
(1)设等比数列{a n }的公比为q,
因为a n+1 +a n =9·2 n-1 ,n∈N * ,所以a 2 +a 1 =9,a 3 +a 2 =18,
所以q=
=
=2,又2a 1 +a 1 =9,所以a 1 =3.所以a n =3·2 n-1 ,n∈N * .
(2)S n =
=
=3(2 n -1),所以3(2 n -1)>k·3·2 n-1 -2,所以k<2-
.令f(n)=2-
,f(n)随n的增大而增大,所以f(n) min =f(1)=2-
=
,所以k<
,所以实数k的取值范围为 .
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_________________，天下物无全美。 ——《墨子》
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