在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点

解题思路：（Ⅰ）欲证EF∥平面A₁BD，关键在平面A₁BD内找一直线与EF平行，连接CD₁，根据点E、F分别是棱CC₁、C₁D₁的中点则EF∥D₁C，从而EF∥A₁B；
（Ⅱ）连接AC交BD于点G，连接A₁G、EG，易证∠A₁GE为直二面角A₁-BD-E的平面角，再根据Rt△A₁AG∽Rt△ECG，求出EC的长即可．

（I）证明：（1）连接CD₁∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴A₁D₁∥AD，AD∥BC，A₁D₁=AD，AD=BC；
∴A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四边形A₁BCD₁为平行四边形；
∴A₁B∥D₁C（3分）
∵点E、F分别是棱CC₁、C₁D₁的中点；
∴EF∥D₁C
又∴EF∥A₁B又∵A₁B⊂平面A₁DB，EF⊂面A₁DB；∴EF∥平面A₁BD（6分）
（II）连接AC交BD于点G，连接A₁G，EG
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD
∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，∴A₁G⊥BD，EG⊥BD
∴∠A₁GE为直二面角A₁-BD-E的平面角，∴∠A₁GE=90°（3分）
在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，∴∠ABC=120°，
∴AC=
AB2+BC2−2AB•BC•cos1202＝2
8
∴AG=GC=
8（10分）
在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE为直角三角形
∵∠A₁GE=90°∴∠EGC+∠A₁GA=90°，
∴∠EGC=∠AA₁G，
∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG（12分）
∴[EC/CG＝
AG
AA1⇒EC＝
3
4]
所以当EC=[3/4]时，A₁-BD-E为直二面角．（15分）

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本小题主要考查直线与平面平行，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．