如何用向量证明任意三角形的三条中线相较于一点

风月阳 1年前 已收到2个回答 举报
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zl10162 幼苗

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已知：△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的三条中线．
求证：AD,BE,CF交于一点
证：先假设两条中线AD,BE交于P点
连接CP,连接PF
PA+PC=2PE=BP
PB+PC=2PD=AP
PA+PB=2PF
三式相加
2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF
3PA+3PB+2PC=2PF
6PF+2PC=2PF
PC=-2PF
所以PC,PF共线,PF就是中线
所以△ABC的三条中线交于一点P

1年前

10

zexuanbb 幼苗

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两条中线的交点为O,按一定方向设三角形三边的向量为向量a,b,c,三边中点为D,E,F.假如说取的两条中线是AD和BE,那么,就用a,b,c表示向量CO和OF,就可以发现向量CO和OF平行,因为它们共点O,所以CO和OF在同一条直线上,即三角形的中线CF经过O点.证毕.

1年前

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