已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f

解题思路：（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q（-x，-y）在函数f（x）图象上，把Q（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x）loga

1+x

1−x

(a＞1)，先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，
进而求得函数的最小值h（x）_min，使得m≤h（x）_min

（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象上，
即-y=log_a（-x+1），则y＝ −loga(1−x)＝loga
1
1−x
∴g(x)＝loga
1
1−x
（2）f（x）+g（x）≥m 即loga(1+x)+loga
1
1−x≥m，
也就是loga
1+x
1−x≥m在[0，1）上恒成立．
设h(x)＝loga
1+x
1−x，x∈[0，1)，
则h(x)＝loga(−
x+1
x−1) ＝loga(−
x−1+2
x−1) ＝loga(−1−
2
x−1)
由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）_min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范围是（-∞，0]

点评：
本题考点： 求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．

考点点评： 本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M（a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a-x，2b-y）在函数y=g（x）的图象上．
（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）maxm≤h（x）恒成立，
则m≤h（x）min

(1)
g(x))=Loga(1/(1-X))
(2)
f(x)+g(x)=Loga((1+X)/(1-X))=Loga(2/(1-X)-1)
x属于[0,1)时有(2/(1-X)-1)大于等于1
又(a＞1)
f(x)+g(x)单调增
当(2/(1-X)-1)等于1 时f(x)+g(x)取到最小值为0
所以m的取值范围为 负无穷到0 ，0可取