(2012•福建模拟)平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.

(2012•福建模拟)平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足
FA
+
FB
+
FC
=0
.证明:△ABC不可能为直角三角形.
冰冻紫焰 1年前 已收到1个回答 举报

郁孤台下清江水 春芽

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解题思路:(Ⅰ)由条件可知,点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,从而可求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)解法一:利用反证法,假设△ABC是直角三角形,不失一般性,设∠A=90°,利用
AB
AC
=0
,及
FA
+
FB
+
FC
0
,可建立方程,利用方程的判别式,即可得出结论;
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由
FA
+
FB
+
FC
0
,得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,由条件的对称性,欲证△ABC不是直角三角形,只需证明∠A≠90°,分类讨论,斜率存在时,设直线AB的方程为:x=ty+m(t≠0),代入y2=4x,再假设∠A=90°,建立方程,利用方程的判别式,即可得出结论.

(Ⅰ)由条件可知,点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,
所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.…(4分)
(Ⅱ)解法一:假设△ABC是直角三角形,不失一般性,设∠A=90°,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则由

AB•

AC=0,

AB=(x2−x1,y2−y1),

AC=(x3−x1,y3−y1),
可得(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0.…(6分)
因为xi=
yi2
4(i=1,2,3),y1≠y2,y1≠y3
所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.…(8分)
又因为

FA+

FB+

FC=

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;抛物线的标准方程.

考点点评: 本题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.

1年前

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