（2012•福建模拟）平面内动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ．

解题思路：（Ⅰ）由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）解法一：利用反证法，假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，利用

AB

•

AC

＝0，及

FA

+

FB

+

FC

＝

0

，可建立方程，利用方程的判别式，即可得出结论；
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由

FA

+

FB

+

FC

＝

0

，得x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，由条件的对称性，欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°，分类讨论，斜率存在时，设直线AB的方程为：x=ty+m（t≠0），代入y²=4x，再假设∠A=90°，建立方程，利用方程的判别式，即可得出结论．

（Ⅰ）由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，
所以点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
则由

AB•

AC＝0，

AB＝(x2−x1，y2−y1)，

AC＝(x3−x1，y3−y1)，
可得（x₂-x₁）（x₃-x₁）+（y₂-y₁）（y₃-y₁）=0．…（6分）
因为xi＝
yi2
4（i=1，2，3），y₁≠y₂，y₁≠y₃，
所以（y₁+y₂）（y₁+y₃）+16=0．…（8分）
又因为

FA+

FB+

FC＝

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．