已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭

解题思路：（1）由等边三角形，得到a=2b，再由直线和圆相切的条件，得到5a=4b+6，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设出直线MN的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用k_AM•k_AN=-[3/4]，求得k，t的关系，进而可求得直线MN恒过定点；
（3）设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，消去x，运用韦达定理，再由△AMN面积为S=[1/2]|AQ|•|y₁-y₂|，代入化简整理，再由对勾函数的性质，即可得到最大值．

（1）由于短轴的顶点与右焦点的距离为a，
则由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则a=2b，
又直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切，
则d=
|0+4b+6|

32+42=a，即有5a=4b+6，
解得，a=2，b=1．
则椭圆方程为：
x2
4+y2＝1；
（2）证明：设直线MN的方程为y=kx+t，M、N坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

y＝kx+t
x2+4y2＝4⇒（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
判别式为64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）＞0，
∴x₁+x₂=-[8kt
1+4k2，x₁x₂=
4t2−4
1+4k2，
∵k_AM=
y1
x1+2，k_AN=
y2
x2+2，
∴k_AM•k_AN=
(kx1+t)(kx2+t)
(x1+2)(x2+2)=
k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
x1x2+2(x1+x2)+4=-
3/4]，
将韦达定理代入，并整理得
t2−4k2
4t2−16kt+16k2=-[3/4]，化简得，t²-3kt+2k²=0，
即有t=k或t=2k，则直线MN的方程为y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A（-2，0），则直线MN恒过定点Q（-1，0）；
（3）△AMN面积为S=[1/2]|AQ|•|y₁-y₂|，
设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，得到（4+m²）y²-2my-3=0，
则y₁+y₂=[2m
4+m2，y₁y₂=
−3
4+m2，
则S=
1/2
(y1+y2)2−4y1y2]=[1/2]
(
2m
4+m2)2+
12
4+m2=
2
3+m2
4+m2=
2

3+m2+
1

3+m2
令
3+m2=u（u≥
3），则u+
1
u在[
3，+∞）递增，当u=
3，即有m=0，
则u+
1
u取最小值
4
3
3，此时S取得最大值2×
3
4
3=

3
2．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．