如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2,0C=6,在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2,0C=6,在OC上取点D将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动,且一直角边始终经过点D,另一直角边所在直线与直线DE,BC分别交于点M,N.
(1)填空:D点坐标是(______,______),E点坐标是(______,______);
(2)如图1,当点P在线段DA上移动时,是否存在这样的点M,使△CMN为等腰三角形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点P在线段AB上移动时,设P点坐标为(x,2),记△DBN的面积为S,请直接写出S与x之间的函数关系式,并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围.
安息日的小孩 1年前 已收到1个回答 举报

jingzhoucd 幼苗

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(1)∵将△AOD沿AD翻折,使O点落在AB边上的E点处,
∴∠OAD=∠EAD=45°,DE=OD,
∴OA=OD,
∵OA=2,
∴OD=2,
∴D点坐标是(2,0),DE=OD=2,
∴E点坐标是(2,2),
故答案为:(2,0),(2,2);

(2)存在点M使△CMN为等腰三角形,理由如下:
由翻折可知四边形AODE为正方形,
过M作MH⊥BC于H,
∵∠PDM=∠PMD=45°,则∠NMH=∠MNH=45°,
NH=MH=4,MN=4
2 ,
∵直线OE的解析式为:y=x,依题意得MN ∥ OE,
∴设MN的解析式为y=x+b,
而DE的解析式为x=2,BC的解析式为x=6,
∴M(2,2+b),N(6,6+b),
CM=
4 2 +(2+b ) 2 ,CN=6+b,MN=4
2 ,
分三种情况讨论:
①当CM=CN时,
4 2 +(2+b) 2 =(6+b) 2
解得:b=-2,此时M(2,0);
②当CM=MN时,
4 2 +(2+b) 2 =(4
2 ) 2
解得:b 1 =2,b 2 =-6(不合题意舍去),
此时M(2,4);
③当CN=MN时,
6+b=4
2 ,
解得:b=4
2 -6,此时M(2,4
2 -4);
综上所述,存在点M使△CMN为等腰三角形,M点的坐标为:
(2,0),(2,4),(2,4
2 -4);

(3)根据题意得:
当0≤x≤2时,
∵∠BPN+∠DPE=90°,
∠BPN+∠BNP=90°,
∴∠DPE=∠BNP,
又∠PED=∠NBP=90°,
∴△DEP ∽ △PBN,

PB
DE =
BN
EP ,

6-x
2 =
BN
2-x ,
∴BN=
(2-x)(6-x)
2 ,
∴S △DBN =
1
2 •BN•BE
=
1
2 •
(2-x)(6-x)
2 •4
整理得:S=x 2 -8x+12;
当2<x≤6时,
∵△PBN ∽ △DEP,

PB
NB =
DE
PB ,

x-2
NB =
2
6-x ,
∴BN=
(x-2)(6-x)
2 ,
∴S △DBN =
1
2 •BN•BE,
=
1
2 •
(x-2)(6-x)
2 ×4,
整理得:S=-x 2 +8x-12;
则S与x之间的函数关系式:

S= x 2 -8x+12(0≤x≤2)
S=- x 2 +8x-12(2<x≤6) ,
①当0≤x≤2时,S=x 2 -8x+12=(x-4) 2 -4,
当x≤4时,S随x的增大而减小,即0≤x≤2,
②当2<x≤6时,S=-x 2 +8x-12=-(x-4) 2 +4,
当x≥4时,S随x的增大而减小,即4≤x≤6,
综上所述:S随x增大而减小时,0≤x≤2或4≤x≤6.

1年前

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