（2010•蓟县一模）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{cn}满足：cn=nan，且数列{cn}的前n项和为（n-1

证明：（I）由题意可知：（n-1）S_n+2n=a₁+2a₂+…+na_n．
当n≥2时，（n-1）S_n+2n-[（n-2）S_n+2（n-1）]=na_n=n（S_n-S_n-1），
化为S_n+2=2（S_n-1+2），
∵n=1时，a₁=2，
∴数列{S_n+2}是等比数列，首项为4，公比q=2；
（II）由函数g（x）=ln（1+x²），g′（x）=[2x
1+x2，
∴在x=tⁿ（
1/2]＜t＜2，且t≠1）处的切线斜率k=
2tn
1+t2n．
OP_n的斜率k′=b_n，
∵函数g（x）=ln（1+x²）在x=tⁿ（[1/2]＜t＜2，且t≠1）处的切线始终与OP_n平行，
∴k=k′，
∴b_n=
2tn
1+t2n．
当1＜t＜2，[1
bn=
1/2(
1
tn+tn)单调递增，∴
1
bn]＜[1/2(
1
2n+2n)．
∴
1
b1]+[1
b2+…+
1
bn=
1/2(
1
t+
1
t2+…+
1
tn)+
1
2(t+t2+…+tn)
=
1
2•

1
t(
1
tn

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查了对称代换，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了放缩方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

1年前

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