设连续函数f（x）在[1，+∞）单调减少，且f（x）＞0，若un=nk＝1f（k）-∫n1f（x）dx，证明：limn→

证明：
∵函数f（x）在[1，+∞）上连续，
∴对于∀n∈N⁺，f（x）在闭区间[n，n+1]是连续的，从而中值定理成立．
从而：un+1−un＝
n+1

k＝1f(k)−
n

k＝1f(k)−
∫n+11f(x)dx+
∫n1f(x)dx=f(n+1)−
∫n+1nf(x)dx＝f(n+1)−f(ξ)，其中ξ∈（n，n+1），
由f（x）在x＞1时连续且单调减小知：f（n+1）≤f（ξ），
∴u_n+1≤u_n，∀n∈N⁺成立，
从而数列{u_n}单调减小，
又：
un＝f(1)+f(2)+…+f(n)−
∫n1f(x)dx


＝[f(1)−
∫21f(x)dx]+[f(2)−
∫32f(x)dx]+…+[f(n−1)−
∫nn−1f(x)dx]+f(n)
＞[f(1)−
∫21f(1)dx]+[f(2)−
∫32f(2)dx]+…+[f(n−1)−
∫nn−1f(n−1)dx]+f(n)
＝f(n)＞0
从而：{u_n}有下界，
由单调有界原理知：极限
lim
n→∞un存在，证毕．

点评：
本题考点： 数列极限的证明；函数极限存在性的判别和证明综合．

考点点评： 数列极限的证明，常用的两个定理“夹逼定理”和“单调有界定理”要依据题目熟练应用．