为了形容清楚,我分子和分母分开打.

你说的式子显然不会对于任意x成立的.用倒推法：
结果=(1/2)*[(1-cosx)/(x^2)+(sinx/x)]
=(1-cosx+x·sinx)/2x^2
上式的分子与你给的分子相同,要两边相等或者1-cosx+x·sinx=0
或者x^2[(1+x.sinx)^(1/2)+(cosx)^(1/2)]=2x^2
于是,或者x^2=0
或者(1+x.sinx)^(1/2)+(cosx)^(1/2)=2
所以使等式成立的x都是特定值,不是任意x,不能进行一般性的化简.
你的问题的来源是否还声明了其它条件?如有请说明.
当x→0,lim[1+x.sinx-cosx]/{x^2[(1+x.sinx)^(1/2)+(cosx)^(1/2)]}
=lim[(1+x.sinx)^(1/2)-(cosx)^(1/2)]/x^2
运用罗毕塔法则,上下求导并整理得：
lim[(sinx+xcosx)(1+x.sinx)^(-1/2)+sinx(cosx)^(-1/2)]/4x
再次运用罗毕塔法则：
lim[(2cosx-xsinx)·(1+x.sinx)^(-1/2)-(sinx+xcos)^2·(1+x.sinx)^(-3/2)/2+(cosx)^(1/2)+sinx^2·(cosx)^(-3/2)/2]/4
=[(2·1-0)·(1+0)^(-1/2)-(0+0)^2·(1+0)^(-3/2)/2+(1)^(1/2)+0^2·(1)^(-3/2)/2]/4
=(2-0+1+0)/4
=3/4