设{An}是正项数列,其前n项和Sn满足:4Sn=(An-1)(An+3),则An=?

晓彤闹闹 1年前 已收到3个回答 举报

ggwonderful 幼苗

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由4A1=4S1=(A1-1)(A1+3),即A1^2-2A1-3=0,利用 A1>0 知 A1=3.
因为 4Sn=(An-1)(An+3)=An^2+2An-3,4S(n-1)=A(n-1)^2+2A(n-1)-3,两式相减利用Sn-S(n-1)=An 得到:
4An=An^2-A(n-1)^2+2An-2A(n-1),即 An^2-A(n-1)^2-2An-2A(n-1)=0,从而 (An+A(n-1))(An-A(n-1)-2)=0.因为数列{An}是正项数列,所以 An+A(n-1)>0,因此只能有 An=A(n-1)+2,从而数列{An}是以A1=3 为首项,2为公差的等差数列,因此 An=A1+(n-1)*2=2n+1.
即{An}的通项公式为 An=2n+1.

1年前

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喜路来 幼苗

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因为4Sn=(An-1)(An+3),
所以4S(n-1)=[A(n-1)-1][A(n-1)+3]
所以4[Sn-S(n-1)]=(An-1)(An+3)-[A(n-1)-1][A(n-1)+3]
所以4An=(An)²+2An-[A(n-1)]²-2A(n-1)
所以(An)²-2An-[A(n-1)]²-2A(n-1)=...

1年前

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镜o︶ㄣ十戒 幼苗

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A1^2-2A1-3=0
A1=3;
4A2+12=A2^2+2A2-3
A2=5
得 An=2n+1
证:用归纳法
A1=3
if(An=2n+1)
4S(n+1)=A(n+1)^2+2A(n+1)-3
A(n+1)^2-2A(n+1)-2(3+2n+1)(n)-3=0
A(n+1)^2-2A(n+1)-(4n^2+8n-3)=0
(A(n+1)-2n-3)(A(n+1)+2n+1)=0
A(n+1)>0
A(n+1)=2(n+1)+1
An=2n+1

1年前

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