讨论函数f(x)=2x+(1/x^2)在x>0上的单调性

不等式法：
f(x) = 2x+1/x²
= x + x + 1/x²
≥ [x·x·(1/x²)]的立方根 (当且仅当x=x=1/x²,也就是x=1时取“=”）
=1
所以f(x)当x=1时取最小值,由此容易知道
x∈(0,1)时,函数单调减；
x∈(1,+∞)时,函数单调增.
导数法判断单调性：
f'(x)=2-2/x³=2(1-1/x³)
所以当x＞0时,
x∈(0,1)时,f'(x)＜0,函数单调减；
x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0,函数单调增.
用单调性的定义：
设0＜x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)=2x1+1/x1²-（2x2+1/x2²）
=2（x1-x2)-（x1²-x2²)/x1²x2²
=(x1-x2)·[2x1²x2²-(x1+x2)]/x1²x2²
=(x1-x2)·[x1²x2²-x1+x1²x2²-x2)]/x1²x2²
=(x1-x2)·[x1（x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²
所以当x1＜x2＜1时,
(x1-x2)·[x1（x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²＞0
此时f(x)为减函数；
当1＜x1＜x2时,
(x1-x2)·[x1（x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²＜0
此时f(x)为增函数.
于是x∈(0,1)时,函数单调减；
x∈(1,+∞)时,函数单调增.