已知四棱锥p abc的底面为菱形,pa垂直于面abc d,且p a 等于a b,角bad等于60

已知四棱锥p abc的底面为菱形,pa垂直于面abc d,且p a 等于a b,角bad等于60
,EF
分别为p a .b c 的中点
一求证,be平行于平面pdf.
二过bd作一平面交棱pc于点m,若二面角m_b D_C的大小为60度,求cm比mp的值.
swallowlet1209 1年前 已收到1个回答 举报

mxlchriss 幼苗

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P点位置未确定,在底面ABCD作AH⊥BC,设菱形边长为1,
△ABC是正△,设PF/PD=k,
以A为原点,AH为X轴,AD为Y轴,AP为Z轴建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(√3/2,-1/2,0),C(√3/2,1/2,0),
D(0,2,0),P(0,0,m),F(0,2/k,(k-1)m/k),G(√3/4,1/4,m/2),
设向量AC=(√3/2,1/2,0),向量AF=(0,2/k,(k-1)m/k),
设平面AFC法向量n1=(x1,y1,1),
n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,
n1·AF=0+2y1/k+(k-1)m/k=0,y1=(k-1)m,y1=-(k-1)m/2,
x1=(k-1)m/(2√3),
n1=((k-1)m/(2√3),-(k-1)m/2,1),
BG=(-√3/4,3/4,m/2),
BG·n1=(k-1)m/(2√3)*(-√3/4)-(3/4)* (k-1)m/2+m/2=-(k-1)/8-(3/8)(k-1)m+m/2=0,(因为当平面法向量和直线垂直时,则直线和平面平行)
-(k-1)/2+1/2=0,
∴k=2,
∴PF/PD=2,
即F应是PD的中点时,BG//平面AFC,此时AP长度未确定,故本题条件有误,不是PF:FD=1:2,应该是PF:FD=1:1,即F是PD的中点.
现反过来再设F的坐标值,F(0,1,m/2),
向量AF=(0,1,m/2)
n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,
n1·AF=0+y1+m/2=0,
∴y1=-m/2,x1=√3m/6,
∴n1=(√3m/6,-m/2,1),
向量BG=(-√3/4,3/4,m/2),
BG·n1=-m/8-3m/8+m/2=0,
∴向量BG⊥法向量n1,
∴BG//平面AFC.
故必须改正题中已知条件,PF/FD=1/2时BG不平行平面AFC,只有F是PD中点时,即PF:FD=1:1结论才正确.

1年前

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