（2011•天河区一模）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝kx相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4

解题思路：（1）根据点A的坐标，易求得k的值，进而可确定双曲线的解析式；可根据双曲线的解析式设出点B的坐标，根据A、B的坐标，可得到直线AB的解析式，进而可得到此直线与y轴交点（设为M）坐标，以OM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高，即可表示出△BOA的面积，已知此面积为3，即可求得点B的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式，即可得到a、b、k的值．
（2）易求得B（-2，-2），C（-4，-4），若设抛物线与x轴负半轴的交点为D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于两个三角形无法发生直接联系，可用旋转的方法来作辅助线；
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°，此时B₁（B点的对应点）位于OC的中点位置上，可延长OA至E₁，使得OE=2OA₁，那么根据三角形中位线定理即可得到B₁A₁∥CE，那么E1就是符合条件的点E，A₁的坐标易求得，即可得到点E₁的坐标；
②参照①的方法，可以OC为对称轴，作△B₁OA₁的对称图形△B₁OA₂，然后按照①的思路延长OA₂至E₂，即可求得点E₂的坐标．

（1）∵反比例函数经过A（1，4），
∵k=1×4=4，即y=[4/x]；
设B（m，[4/m]），已知A（1，4），可求得
直线AB：y=-[4/m]x+4+[4/m]；
∵S_△BOA=[1/2]×（4+[4/m]）×（1-m）=3，
∴2m²+3m-2=0，
即m=-2（正值舍去）；
∴B（-2，-2）．
由于抛物线经过A、B两点，则有：


a+b＝4
4a−2b＝−2，
解得

a＝1
b＝3；
∴y=x²+3x．
故a=1，b=3，k=4．

（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；
∵直线AC∥x轴，且A（1，4），
∴C（-4，4）；
已求得B（-2，-2），则有：
∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B₁OA₁，作AM⊥x轴于M，作A₁N⊥x轴于N．
∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，
∵∠AOM+∠NOA₁=90°，∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA₁，
又∵OA=OA₁，∠AMO=∠A₁NO
∴△AOM≌△OA₁N，
∴A₁N=OM=1，ON=AM=4
∴A₁的坐标是（4，-1），
此时B₁是OC的中点，延长OA₁至E₁，使得OE=2OA₁，
则△COE₁∽△B₁OA₁∽△BOA；
则E₁（8，-2）；
②以OC所在直线为对称轴，作△B₁OA₁的对称图形△B₁OA₂，
延长OA₂至E₂，使得OE₂=2OA₂，
则△COE₂≌△COE₁∽△BOA；
易知A₂（1，-4），则E₂（2，-8）；
故存在两个符合条件的E点，且坐标为E₁（8，-2），E₂（2，-8）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定，图形面积的求法，相似三角形的判定等知识．难点在于（2）题的辅助线作法，能够发现∠BOC=90°，并能通过旋转作出相似三角形是解决问题的关键．