长方体的长、宽、高分别为正整数a•b•c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,那么这个长方体的体积为_

长方体的长、宽、高分别为正整数a•b•c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,那么这个长方体的体积为______.
茅家埠的鱼 1年前 已收到2个回答 举报

知玉之恩 幼苗

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解题思路:先把已知条件化为(1+a)(1+b)(1+c)=2007=3×3×223的形式,再根据2007=3×3×223即可求出a、b、c的值,进而可求出答案.

由已知得:
a+b+c+ab+ac+bc+abc
=(a+ab)+(ac+abc)+(c+bc)+b
=a(1+b)+ac(1+b)+c(1+b)+(1+b)-1
=(1+b)(a+ac+c+1)-1
=(1+b)[(a+ac)+(c+1)]-1
=(1+b)[a(1+c)+(1+c)]-1
=(1+b)(a+1)(1+c)-1
=(1+a)(1+b)(1+c)-1=2006
所以(1+a)(1+b)(1+c)=2007=3×3×223
由于题目只是求体积abc的值,所以不必讨论a、b、c的大小顺序,可得:
1+a=3,
1+b=3,
1+c=223,
解得:a=2,b=2,c=222.
因此,体积=abc=2×2×222=888.
故答案为:888.

点评:
本题考点: 立体图形.

考点点评: 本题考查的是立体图形,能把原式化为(1+a)(1+b)(1+c)-1=2006的形式是解答此题的关键.

1年前

2

阿弥陀佛55110 幼苗

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(a 1)(b 1)(c 1)=2007分解2007=3*3*223故体积为888

1年前

2
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