如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点P，且AB=BD，AP=4PC=4，则cos

解题思路：作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD．可证明A、B、C、D四点共圆，根据相交弦定理得出PD，则计算出AB，由勾股定理得出BC，从而得出答案．

作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD，
由AB=BD得E是AD的中点，因此OE是△ACD的一条中位线，从而O是AC的中点，
以O为圆心，OA为半径作圆，则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点，
易知 AP=4，PC=1，AC=AP+PC=5，
因此，OA=OC=2.5．OP=OC-PC=1.5，
由BE∥CD得，BP：PD=OP：PC=1.5，
因此BP=1.5PD，从而 AB=BD=BP+PD=2.5PD，
由相交弦定理得 BP•PD=AP•PC=4，
即 1.5PD²=4，
因此 PD²=[8/3]，
从而 AB²=（2.5PD）²=6.25PD²=[50/3]，
由勾股定理得
BC²=AC²-AB²=5²-[50/3]=[25/3]，
因此 BC=
5
3
3，
∴cos∠ACB=BC：AC=

3
3．

点评：
本题考点： 直角三角形的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及四点共圆等知识点，综合性较强．

由AB=BD得E是AD的中点,因此OE是△ACD的一条中位线,从而O是AC的中点。
以O为圆心,OA为半径作圆,则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点。易知
AP=4,PC=1,AC=AP+PC=5.
因此
OA=OC=AC/2=2.5
OP=OC-PC=1.5
由BE//CD得
BP/PD=OP/PC=1.5...