如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过

如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.

(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
ily1980 1年前 已收到1个回答 举报

libra15 幼苗

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解题思路:(1)解本题时可先设出二次函数的方程,然后根据所给的条件可得出抛物线上的两点,代入函数解析式计算即可.
(2)本题根据观察可知OB的表达式为:y=x,由此可设点E的坐标为(m,m),再根据点E在抛物线上,将E点的坐标代入抛物线解析式,化简即可得出E点的坐标.根据两点之间的距离公式即可得出OE的长,再根据EG=GF-EF即可得出EG的长,比较即可得出答案.
(3)本题可先设出H点的坐标,由H点在抛物线上列出关于H点坐标的方程,再根据勾股定理OH2=OI2+HI2得出OH关于H点坐标的式子,根据OK=OH可得出CK的长,证明CK=IH,最后根据三角形相似定理HL即可证出两三角形全等.

(1)由题意,设抛物线的解析式为:y=ax2+b.
将点D的坐标(0,1),点A的坐标(2,0)代入,
得:a=-[1/4],b=1.
所求抛物线的解析式为y=-[1/4]x2+1.
(2)由于点E在正方形的对角线OB上,又在抛物线上,
设点E的坐标为(m,m)(0<m<2),
则m=-[1/4]m2+1.
解得m1=2
2-2,m2=-2
2-2(舍去).
所以OE=
2m=4-2
2.
所以EG=GF-EF=2-m=2-(2
2-2)=4-2
2.
所以OE=EG.
(3)证明:设点H的坐标为(p,q)(0<p<2,0<q<1),
由于点H在抛物线y=-[1/4]x2+1上,
所以q=-[1/4]p2+1,
即p2=4-4q.
因为OH2=OI2+HI2=p2+q2=4-4q+q2=(2-q)2
所以OH=2-q.
所以OK=OH=2-q.
所以CK=2-(2-q)=q=IH.
因为CJ=OI,∠OIH=∠JCK=90°,
所以△OHI≌△JKC.

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 本题考查了二次函数的应用.解此类题目时要注意学会假设未知数,结合勾股定理和三角形相似的性质来解.

1年前

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