数列 已知数列前n项和Sn=(p-2)+pan,n∈N*,p>1且p≠2
数列 已知数列前n项和Sn=(p-2)+pan,n∈N*,p>1且p≠2
(1)证明：{an}是等比数列
(2)对一切自然数n,当an+1>an,试确定p的取值范围
(1)证明：{an}是等比数列
(2)对一切自然数n,当an+1>an,试确定p的取值范围
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(1)
Sn=(p-2)+pan (1)
S(n-1) = (p-2)+pa(n-1) (2)
(1)-(2)
an = pan-pa(n-1)
an/a(n-1) = p/(p-1)
{an}是等比数列
(2)
Sn=(p-2)+pan
n=1
a1=(p-2)/(1-p)
an/a(n-1) = p/(p-1)
an/a1 = [p/(p-1)]^(n-1)
an = [(p-2)/(1-p)].[p/(p-1)]^(n-1)
= (2-p)p^(n-1)/ (p-1)^n
a(n+1)> an
a(n+1)-an >0
(2-p)p^n/ (p-1)^(n+1) - (2-p)p^(n-1)/ (p-1)^n >0
{ 2p^n- p^(n+1) + p^(n+1)-3p^n+2p^(n-1)} /(p-1)^(n+1) >0
(2-p) p^(n-1)/ (p-1)^(n+1) >0
p>2 or 1
Sn=(p-2)+pan (1)
S(n-1) = (p-2)+pa(n-1) (2)
(1)-(2)
an = pan-pa(n-1)
an/a(n-1) = p/(p-1)
{an}是等比数列
(2)
Sn=(p-2)+pan
n=1
a1=(p-2)/(1-p)
an/a(n-1) = p/(p-1)
an/a1 = [p/(p-1)]^(n-1)
an = [(p-2)/(1-p)].[p/(p-1)]^(n-1)
= (2-p)p^(n-1)/ (p-1)^n
a(n+1)> an
a(n+1)-an >0
(2-p)p^n/ (p-1)^(n+1) - (2-p)p^(n-1)/ (p-1)^n >0
{ 2p^n- p^(n+1) + p^(n+1)-3p^n+2p^(n-1)} /(p-1)^(n+1) >0
(2-p) p^(n-1)/ (p-1)^(n+1) >0
p>2 or 1
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