如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=15,tanA=43,E为线AC上一点(不与A、C重合),过点E作ED⊥

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=15,tanA=
4
3
,E为线AC上一点(不与A、C重合),过点E作ED⊥AC交线段AB于点D,将△ADE沿着直线DE翻折,A的对应点G落在射线AC上,线段DG与线段BC交于点M.

(1)若BM=8,求证:EM∥AB;
(2)设EC=x,四边形的ADMC的面积为S,求S关于x的函数解析式,并写出定义域.
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解题思路:(1)根据三角函数先在Rt△ACB中,求出AC=9,BC=12,MC=4.再在Rt△MCG中,求出CG=3.可得AG=12,EC=3,AE=6,根据平行线分线段成比例即可证明EM∥AB;
(2)根据SADMC=S△ABC-S△DBM,即可得出S关于x的函数解析式.

(1)在Rt△ACB中,tanA=
BC
AC=
4
3,设AC=3k,BC=4k,(1分)
则AB=
AC2+BC2=
(3k)2+(4k)2=5k,AB=5k=15,k=3.
∴AC=9,BC=12.(2分)
∵BM=8,
∴MC=4(1分)
在Rt△MCG中,tanG=tanA=
MC
GC=
4
3,
∴CG=3.(1分)
∴AG=12,EC=3,AE=6.(1分)
∵[CM/BM=
EC
AE=
1
2],
∴EM∥AB;(1分)
(2)EC=x,由题意有EG=AE=9-x,则CG=9-2x,(1分)
CM=
4
3(9−2x),BM=12-[4/3](9-2x),(1分)
SADMC=54-
1
2[12−
4
3(9−2x)]•x=−
4
3x2+54(0<x<4.5).(3分)

点评:
本题考点: 平行线分线段成比例;勾股定理;翻折变换(折叠问题).

考点点评: 本题综合考查了平行线分线段成比例,三角函数的知识及组合图形的面积之间的关系,函数解析式,有一点的难度.

1年前

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