（2005•普陀区一模）已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元

（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a²-4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∝）上递增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
a_n=S_n-S_n-1=

1，n＝1
2n−5，n≥2综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4
（2）要使
lim
n→∞
an
bn=2，，可构造数列b_n=n-k，
∵对任意的正整数n都有b_n＜a_n，
∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2
∴k＞3，
又b_n≠0，∴k∉N^*，∴b_n=n-
3/2]，．
（3）由题设C_n=

−3，n＝1
1−
4
2n−5，n≥2，
∵n≥3时，C_n+1-C_n=[4/2n−5]-[4/2n−3]=[8
(2n−5)(2n−3)＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵a₄=-
1/3]＜0，由1-[4/2n−5]＞0
n≥5，可知a₄-a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C₁=-3，C₂=-5，C₃=-3，即C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．

点评：
本题考点： 数列递推式；极限及其运算．

考点点评： 本题主要考查了数列的递推式．递推式是数列中重要的内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式．通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点．

1年前

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