已知f(x)在(0,+无穷)上有定义,且f'(1)=a(a不等于0),又对于任意的x,y属于(0,+无穷)有f(xy)=

已知f(x)在(0,+无穷)上有定义,且f'(1)=a(a不等于0),又对于任意的x,y属于(0,+无穷)有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x).
fengchengwei88 1年前 已收到1个回答 举报
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云在山那边 花朵

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令xy=u;
对f(xy)=f(x)+f(y)左右两端对y求导,
f`(u).x=f`(y);
当y=1时,
有xf`(x)=f`(1)=a;
f`(x)=a/x;
积分得,f(x)=alnx + C;(x>0)
又由于f(xy)=f(x)+f(y);
所以aln（xy）+ C = alnx + C + alny + C;
C=0;
所以f(x)=alnx;(x>0)

1年前

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